Дискретные гармонические функции

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент Вавилов Валерий Васильевич (Школа им. А.Н. Колмогорова)

В каждый узел бесконечного листа клетчатой бумаги поместим действительное число так, чтобы любое число было бы равно среднему арифметическому чисел, стоящих в четырех соседних узлах бумаги. Другими словами, рассмотрим функцию двух переменных у = F(i,j), которая определена на всех целочисленных точках (i,j) и такую, что
F(i,j) = 1/4(F(i-1,j) + F(i+1,j) + F(i,j-1) + F(i,j+1))
для любых целых значений i и j. Такие функции у = F(i,j) называются дискретными гармоническими функциями.
На школьных олимпиадах, например, встречались такие две задачи:
А) (Москва). Доказать, что если дискретная гармоническая функция принимает только натуральные значения, то эта функция равна некоторой постоянной, т.е. все ее значения равны.
Б) (Ленинград). Доказать, что если рассмотреть любой прямоугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги и сторонами параллельными ее линиям, то наибольшее и наименьшее значение из числа тех, которые принимает дискретная гармоническая функция во внутренних и граничных узлах этого прямоугольника, находятся в граничных узлах.
Известна также следующая теорема Лиувилля, которую мы предлагаем в качестве задачи
С). Доказать, что если дискретная гармоническая функция ограничена, то она постоянна.
Одним из центральных является следующий вопрос: Верно ли, что если все значения дискретной гармонической функции вещественны и неотрицательны, то эта функция постоянна?
Предложенные задачи и теоремы являются дискретными аналогами соответствующих результатов из классической теории потенциала. Цель проекта – продвинуться в построении дискретной теории потенциала на плоскости и в пространстве.