Задача А.Н. Колмогорова о циклах

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент Вавилов Валерий Васильевич (Школа им. А.Н. Колмогорова, г. Москва)

По любому натуральному числу n можно построить другое натуральное число m по следующему правилу: запишем число n русскими словами и подсчитаем количество затраченных на эту запись букв – это и будет число m. Например, числу n = 1987 (тысяча девятьсот восемьдесят семь) отвечает число m = 30.
Делая такие сопоставления n -> m для маленьких n, легко найти те из них, которые «переходят» сами в себя (то есть m=n): это n1 = 3 (три), n2 = 11 (одиннадцать). Однако есть еще тройка замечательных чисел, которые указанным преобразованием переводятся друг в друга по циклу. Это тройка состоит из чисел 4,5 и 6:
4 (четыре) -> 6 (шесть) -> 5 (пять) -> 4 (четыре).
А что происходит с другими числами?
Чтобы выяснить это, надо провести многократные итерации указанного преобразования над выбранным числом и выписать получающуюся цепочку чисел. Например,
1987 -> 30 (тридцать) -> 8 (восемь) -> 6 -> 5 -> 4 -> 6.
Первый же взятый пример привел нас к циклу 6 -> 5 -> 4 -> 6. Конечно, имеется также много чисел, сводящихся и к «неподвижным» точкам n1 = 3 и n2 = 11 нашего преобразования. Но все ли числа сводятся в конечном счете к этим неподвижным точкам или к циклу 6 -> 5 -> 4 -> 6?
Полное решение этой задачи состоит в последовательном решении двух более простых задач:
А) Найти все неподвижные точки и циклы указанного преобразования (две неподвижные точки уже найдены).
Б) Доказать, что любое число n с помощью конечного числа итераций сводится к одной неподвижной из неподвижных точек или одному из циклов.
Второе утверждение может показаться сомнительным – тогда попытайтесь опровергнуть его!
Если вы знает какие-нибудь другие языки, порешайте аналогичную задачу и для них. Оказывается, что для любого языка из ныне существующих (даже, быть может, вам неизвестных) можно чисто математическим рассуждениями решить вторую из указанных задач. Заметим, при этом, что все числа, входящие в неподвижные точки и циклы на этих языках не превосходят 100. Почему?
Цель проекта состоит в нахождении оценок на выяснении число шагов (итераций), за которое данное число «превращается» в неподвижную точку или попадает в цикл.