Международная школа математического творчества

Новое расширение классической геометрии

2008-06-21T23:34:00.000-07:00

Научный руководитель: Профессор Г.В.Томский
Теория динамических интеллектуальных игр преследования (ДИП) притягивает внимание специалистов с 1989 года [1, 2]. Успех ЖИПТО (JIPTO - Jeux Intellectuels de Poursuite de Tomski), популяризуемой в международном масштабе благодаря поддержке ЮНЕСКО и используемой для развития интеллектуальных и творческих возможностей учащихся [2-6], усиливает этот интерес. Элементарные геометрические разделы математики ЖИПТО в совокупности с элементарными задачами геометрии простого преследования [7] образуют основу интерсного расширения элементарной школьной геометрии, которое можно называть элементарной геометрией преследования.
Особенности ЖИПТО. Успех ЖИПТО и богатство возможностей его использования в образовании объясняется тем, что поле для игры представляет вертикальный триптих, а тема преследования дает неограниченные возможности для творческой фантазии художников «жиптографов». Это также облегчает защиту авторских прав на игру.
Базовые версии JIPTO-В1-А1, JIPTO-В1-А2, JIPTO-В2-А1, JIPTO-В1-А2 и другие моделируют ситуации с один «преследователем» и пятью «убегающими». Целью «убегающих», сосредоточенных в начале игры на одной стороне игрового поля, является достижение противоволожной стороны, чему стремится препятствовать «преследователь». В случае поимки до пересечения игрового поля результат пойманного «убегающего» оценивается в зависимости в какой из трех основных зон игрового поля, разделенных линиями I, II и III, он пойман.
На основе модификации этой версии путем введения веса фишек, возможности их рокировки, дополнительных фишек «спасателей» и др., получаются более сложные и увлекательные версии на любой вкус. Существуют также полуазартные версии, когда очередность хода фишек определяется случаем. Официальный сборник правил ЖИПТО содержит описание 2480 вариантов игры. Для любителей комбинаторных игр придуманы «жиптоиды» - дискретные приближенные версии ЖИПТО.
В 1993 году по инициативе Заместителя Генерального директора ЮНЕСКО по образованию Колина Пауэра была организована ФИДЖИП (Международная федерация ЖИПТО, http://www.jipto.com/).
Математические модели. Начнем с того, что в ЖИПТО можно играть, рисуя с помощью трафарета, траектории «преследователя» и «убегающих» в виде последовательности касающихся между собой кругов. Такая форма игры достаточно удобна и широко практиковалась в 1987-1992 годах до начала распространения наборов для игры. Заменяя нарисованные на бумаге круги геометрическими кругами на плоскости, получаем геометрическую модель ЖИПТО. Аналитическая модель ЖИПТО помещает этот обширный класс игр среди динамических игр с дискретным временем.
Элементарная геометрия преследования. В книге [5] с таким названием рассматриваются ЖИПТО и другие динамические игры, в которых траектории преследователей и убегающих являющиеся ломаными линиями или цепочками касающихся между собой кругов. Стратегии преследования и убегания определяются в геометрических терминах. Например, стратегии преследователя описывают правила построения с помощью линейки и циркуля траекторий в зависимости от реализации траекторий убегающего (или убегающих, если их много, а также других преследователей, если они существуют). Поэтому в геометрии JIPTO и других подобных игр преследования рассматриваются траектории, которые являются объектами классической геометрии: ломаные, цепочки касающихся кругов и т. д. Но к преобразованиям и другим отношениям изучаемым в классической геометрии добавляется бесконечное число преобразований и отношений, порожденных различными стратегиями. В играх на быстродействие сравниваются длины траекторий преследователя до момента поимки, в играх с линией жизни проверяется достигают ли эту линию все траектории убегающего, соответствуюшие изучаемой стратегии. Версии JIPTO имеют более сложные критерии и иногда являются многокритериальными.
Источник новых элективных курсов. Мы предлагаем сотрудничество и помощь всем педагогам, способным разработать и внедрить элективные и факультативные курсы по этому разделу математики. Перечислим некоторые теоремы из книги [5]:
- Теорема Томского о рекурсивной стратегии погонного преследования (доказана в 1978 году).
- Теорема Томского о Е-стратегии погонного преследования (1988).
- Теорема Петросяна о П-стратегии и кругах Аполлония (доказанное Л.А.Петросяном с использованием элементов высшей математики в1962 году, доказательство с использованием методов элементарной геометрии предложено Г.В. Томским в 1982 году).
- Теоремы Петросяна об играх с линией жизни (1962-1968).
- Теоремы Томского о зонах захвата и убегания (1971).
- Теорема Кайгородова (1988).
- Теорема Голикова-Томского о базовой версии ЖИПТО (сформулированное А.И. Голиковым в 1991 году и доказанная Г.В.Томским в 2004 году).
Все эти теоремы могли быть доказаны способными к математике школьниками старших классов или творчески настроенными учителями математики.
Источник нерешенных проблем. Каждая версия ЖИПТО заслуживает математического исследования, которая может быть оформлена в виде дипломной работы или даже диссертации "Математическая теория игры JIPTO-V", где V = JIPTO-B1-A1, JIPTO-B1-A2-P(1,2,3,4,5), ...
Такие исследования могут быть провелены по следующему плану: В первой главе описываются аналитическая и геометрическая модели рассмотриваемой версии ЖИПТО, описываются основной и дополнительный критерии, обсуждаются используемые понятия оптимальности. Во второй главе исследуется случай, когда в конце игры остается один "убегающий". Дело осложняется наличием фазовых ограничений и существованием дополнительных критериев, используемых в случае ничьей по главному критерию. В этом случае оптимальные стратегии по второму критерию надо искать среди всех оптимальных стратегий по первому критерию и т.д. Поэтому нет уверенности даже в самом существовании оптимальных стратегий. По отношению к четвертому критерию базоваые версии ЖИПТО является игрой на быстродействие с пятью убегающими с геометрическими и стратегическими ограничениями. Но такие задачи не решены даже в случае двух убегаюших и при отсутствии ограничений. По отношению к основному критерию версии ЖИПТО являются играми с бесконечными количеством стратегий и разрывным критерием и не существует никакого численного метода нахождения оптимальных стратегий.Поэтому нельзя надеяться на получение исчерпывающих результатов даже в этом простейшем случае. В третьей главе исследуется случай двух убегающих, в четвертой - трех, в пятой - четырех, в шестой - пяти убегающих. Речь может идти только о построении стратегий, гарантирующих достаточно хорошие результаты игрокам, хотя бы в частных случаях (например, при фиксированном порядке поимки или при каких-то других ограничениях на движения и стратегии).
Проведенные нами с 1990 года исследования показывают, что оптимальное значение базовых версий ЖИПТО скорее всего, равно 8 или 9.Таким образом, элементарная геометрия преследования представляет собой новое перспективное расширение классической геометрии, интересное для целей популяризации математики и для математического образования.

Литература

Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Элементарные задачи сближения и уклонения. Якутск: ЯГУ, 1989.
Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Через игры к творчеству. Новосибирск: Наука, 1991.
G .Tomski, T.Tomski. JIPTO : Jeux de reflexion pour tous. ACL Editions, 1996.
G.Tomski. JIPTO : 1001 jeux pour tous. Editions du JIPTO, 2005.
G.Tomski. Géométrie élèmentaire de la Poursuite. Editions du JIPTO, 2005.
G.Tomski. JIPTO : de la Maternelle à l'Université. Editions du JIPTO, 2007.
Л.А.Петросян, Г.В.Томский. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука, 1983.

Проблемы преследования

2008-06-06T01:02:00.000-07:00

Научные руководители: д.ф.м.н, профессор Томский Георгий Васильевич (Париж);
к.ф.м.н, доцент Вавилов Валерий Васильевич (Школа им. А.Н. Колмогорова, Москва)
А. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а вершинах квадрата – четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки – только по сторонам квадрата. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная скорость собаки в 1,5 раза больше максимальной скорости волка. Имеют ли возможность собаки не выпустить волка из квадрата?
Б. На шахматной доске 8 Ч 8 двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка – мышка, у второго несколько фишек – кошек. Все фишки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски. Если кошка и мышка попадают на одну и ту же клетку, то кошка съедает мышку.
Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стараются до этого ее съесть.
1) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?
2) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Может ли мышка убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек?
Цель проекта состоит в решении этих задач и различных их обобщений (например, изучить возможности «поимки» волка при других соотношениях между скоростями движениями волка и собак в задаче А, куб а не квадрат в той же задаче А и произвольная доска и несколько кошек и мышек в задаче Б).

Литература
1. Г.В. Томский, Элементарная геометрия преследования. – Editions du JIPTO, Paris, 2005.
2. Л.А. Петросян, Г.В. Томский, Через игры - к творчеству. - Новосибирск: Наука, 1991.
2. Л.А. Петросян, Б.Б. Рихсиев, Преследование на плскости. –М.: Наука, 1991. (Популярные лекции по математике; вып. 61).

Задача А.Н. Колмогорова о циклах

2008-06-06T00:57:00.000-07:00

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент Вавилов Валерий Васильевич (Школа им. А.Н. Колмогорова, г. Москва)

По любому натуральному числу n можно построить другое натуральное число m по следующему правилу: запишем число n русскими словами и подсчитаем количество затраченных на эту запись букв – это и будет число m. Например, числу n = 1987 (тысяча девятьсот восемьдесят семь) отвечает число m = 30.
Делая такие сопоставления n -> m для маленьких n, легко найти те из них, которые «переходят» сами в себя (то есть m=n): это n1 = 3 (три), n2 = 11 (одиннадцать). Однако есть еще тройка замечательных чисел, которые указанным преобразованием переводятся друг в друга по циклу. Это тройка состоит из чисел 4,5 и 6:
4 (четыре) -> 6 (шесть) -> 5 (пять) -> 4 (четыре).
А что происходит с другими числами?
Чтобы выяснить это, надо провести многократные итерации указанного преобразования над выбранным числом и выписать получающуюся цепочку чисел. Например,
1987 -> 30 (тридцать) -> 8 (восемь) -> 6 -> 5 -> 4 -> 6.
Первый же взятый пример привел нас к циклу 6 -> 5 -> 4 -> 6. Конечно, имеется также много чисел, сводящихся и к «неподвижным» точкам n1 = 3 и n2 = 11 нашего преобразования. Но все ли числа сводятся в конечном счете к этим неподвижным точкам или к циклу 6 -> 5 -> 4 -> 6?
Полное решение этой задачи состоит в последовательном решении двух более простых задач:
А) Найти все неподвижные точки и циклы указанного преобразования (две неподвижные точки уже найдены).
Б) Доказать, что любое число n с помощью конечного числа итераций сводится к одной неподвижной из неподвижных точек или одному из циклов.
Второе утверждение может показаться сомнительным – тогда попытайтесь опровергнуть его!
Если вы знает какие-нибудь другие языки, порешайте аналогичную задачу и для них. Оказывается, что для любого языка из ныне существующих (даже, быть может, вам неизвестных) можно чисто математическим рассуждениями решить вторую из указанных задач. Заметим, при этом, что все числа, входящие в неподвижные точки и циклы на этих языках не превосходят 100. Почему?
Цель проекта состоит в нахождении оценок на выяснении число шагов (итераций), за которое данное число «превращается» в неподвижную точку или попадает в цикл.

Дискретные гармонические функции

2008-06-06T00:53:00.000-07:00

Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент Вавилов Валерий Васильевич (Школа им. А.Н. Колмогорова)

В каждый узел бесконечного листа клетчатой бумаги поместим действительное число так, чтобы любое число было бы равно среднему арифметическому чисел, стоящих в четырех соседних узлах бумаги. Другими словами, рассмотрим функцию двух переменных у = F(i,j), которая определена на всех целочисленных точках (i,j) и такую, что
F(i,j) = 1/4(F(i-1,j) + F(i+1,j) + F(i,j-1) + F(i,j+1))
для любых целых значений i и j. Такие функции у = F(i,j) называются дискретными гармоническими функциями.
На школьных олимпиадах, например, встречались такие две задачи:
А) (Москва). Доказать, что если дискретная гармоническая функция принимает только натуральные значения, то эта функция равна некоторой постоянной, т.е. все ее значения равны.
Б) (Ленинград). Доказать, что если рассмотреть любой прямоугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги и сторонами параллельными ее линиям, то наибольшее и наименьшее значение из числа тех, которые принимает дискретная гармоническая функция во внутренних и граничных узлах этого прямоугольника, находятся в граничных узлах.
Известна также следующая теорема Лиувилля, которую мы предлагаем в качестве задачи
С). Доказать, что если дискретная гармоническая функция ограничена, то она постоянна.
Одним из центральных является следующий вопрос: Верно ли, что если все значения дискретной гармонической функции вещественны и неотрицательны, то эта функция постоянна?
Предложенные задачи и теоремы являются дискретными аналогами соответствующих результатов из классической теории потенциала. Цель проекта – продвинуться в построении дискретной теории потенциала на плоскости и в пространстве.

ПЕРВАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ШКОЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

2008-06-05T23:56:00.000-07:00

Париж, апрель 2009 года

Основные формы работы:
Под научным руководством одного из преподавателей группой учащихся разрабатывается исследовательский математический проект.
Тематика учебных занятий и консультаций направлена на знакомство с приемами и методами исследований, в основном, по тем проектам, которыми заняты участники школы.
Исследовательские проекты публикуются их научными руководителями заблаговременно на сайтах http://www.mathschool.ru/ и http://maths-ru.blogspot.com/

Число участников: 40-50 человек.
Регистрация участников школы проводится в электронной форме по адресам: vvavilov@tochka.ru и turgen@noos.fr
Организационный взнос на одного участника (включающий оформление виз, проезд Москва-Париж-Москва, проживание и питание) примерно составляет 1300 евро. В организационный взнос включены также расходы на проведение школы, оплата работы преподавателей, культурная программа и др. необходимые затраты.

Примерный учебный план:
- Учебные занятия: 2-4 часа в день;
- Консультации научных руководителей: 2 часа в день;
- Олимпиады и конкурсы (например, http://fidjip.blogspot.com/2008/01/concours-mathmatique.html);
- Конференция по итогом работы школы.